三名高中生利用数学知识挑战近百年的分形定理，揭示门格海绵与扭结的奥秘

近年来，高中生在学术领域的表现令人瞩目。先是17岁高中生破解了困扰数学界27年的难题，随后又有高中生的论文被顶级AI会议NeurIPS收录，更有高中生用10种方法证明勾股定理。本周，量子杂志报道了一组在数学领域崭露头角的高中生团队：Niko Voth、Joshua Broden 和 Noah Nazareth。在多伦多大学数学家 Malors Espinosa 的指导下，他们成功证明了一条关于扭结和分形的新定理。

2021年秋天，Malors 开始设计一个特殊的数学问题。作为一个优秀的研究问题，它不仅需要引人深思，还需要有独特的解决方案。当时还在多伦多大学攻读数学研究生的 Malors，多年来一直为当地高中生举办暑期讲习班，教授他们数学研究的基础知识，并引导他们如何撰写证明。一些学生表现出更高的志向，希望探索没有既定答案的数学问题。因此，Malors 为他们设计了一个合适的问题。

在阅读一本关于混沌理论的教科书时，Malors 发现了一个熟悉的对象——门格海绵（Menger sponge）。门格海绵是一种自相似的分形结构，通过不断移除立方体的中心部分和六个面的中心立方体，最终形成一个多孔的结构。这种分形因其独特的数学性质和视觉效果吸引了众多数学爱好者的关注。

1926年，数学家 Karl Menger 首次定义了门格海绵，并证明了任何可想象的曲线都可以嵌入其中。然而，Malors 发现了一个新的问题：Menger 的证明并没有区分同胚曲线，即所有与圆等价的扭结是否都可以嵌入门格海绵中。这个问题激发了 Malors 的三位学生——Niko Voth、Joshua Broden 和 Noah Nazareth 的兴趣。

在与 Malors 进行了几个月的 Zoom 会议后，这三位高中生成功证明了所有扭结确实都可以嵌入门格海绵中。此外，他们还发现另一种相关分形也有类似的性质。他们的研究成果发表在论文《Knots inside Fractals》中。

北卡罗来纳州立大学的拓扑学家 Radmila Sazdanovic 对此评价道，这是一个巧妙的组合方法。Malors 提出的问题新颖且富有挑战性，而他的学生们则成功完成了证明。这一研究不仅重新审视了 Menger 百年前的定理，还为未来的数学研究提供了新的视角。

本文来源： 机器之心【阅读原文】